Resumiendo un poco lo del MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Una cosa que
da vueltas tiene movimiento circular. Por ejemplo, un trompo, una calesita o
las agujas del reloj. Si lo qué está girando da siempre el mismo número de
vueltas por segundo, digo que el
movimiento circular que tiene es UNIFORME. (MCU)
Ejemplos de
cosas que se mueven con movimiento Circular Uniforme
La
tierra. Siempre da una vuelta sobre su
eje cada 24hs. También gira alrededor del sol. Da una vuelta cada 365 días. Un
ventilador, un lavarropas o los viejos tocadiscos La rueda de un coche que
viaja con velocidad cte.
Las ruedas se mueven con movimiento circular.
Repasemos un poco el concepto de:
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Ángulo θ con centro en C. |
El radián
Si tenemos un ángulo
cualquiera y queremos saber cuánto mide, tomamos un transportador y lo medimos.
Esto nos da el ángulo medido en grados. Este método viene de dividir la
circunferencia en 360º, y se denomina sexagesimal.
(Para usar la
calculadora en grados hay que ponerla en DEG, Degrees, que quiere decir grados en inglés).
El sistema de grados
sexagesimales es una manera de medir ángulos, pero hay otros métodos, y uno de ellos es
usando radianes.
Ahora veamos el
asunto de medir los ángulos pero en radianes.
Para medir un ángulo
en radianes se mide el largo del arco (s) abarcado por el ángulo θ de la figura
a la izquierda. Esto se puede hacer con un centímetro, con un hilito o con lo
que sea. También se mide el radio del círculo.
Para obtener el valor del ángulo (θ) en radianes usamos la fórmula:
Y tenemos el
ángulo medido en radianes
Hacer la división del
arco sobre radio significa ver cuántas veces entra el radio en el arco. Como el
radio y el arco deben medirse en la misma unidad, el radián resulta ser un número sin unidades.
Esto significa que el
valor del ángulo en radianes solo me indica cuántas veces entra el radio en el
arco. Por ejemplo, si el ángulo θ mide 3 radianes, eso significa que el radio
entra 3 veces en el arco abarcado por ese ángulo.
Su quisiéramos
calcular o conocer al valor del arco, hacemos:
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|
¿Cuántas veces
entra el radio en el arco marcado? |
¿A cuántos grados equivale un radián?
Pero el valor de un
ángulo en radianes se puede expresar (convertir) en grados. En una circunferencia entera (360º) el arco entero es el perímetro, que es igual a 2 Pi por radio
.
Así, a partir de la
fórmula
Es que 360° equivalen
a:
Un ángulo de un
radián equivale a un ángulo de 57,3º.
Para usar la
calculadora en radianes hay que ponerla en "RAD"
|
Resumiendo(es lo que se usa) Sistema sexagesimal 360º (giro
completo) equivale a 2π en radianes 360º = 2π ( giro completo) 180º= π ( medio giro ) 90º = π/2 (un cuarto de giro) Etc… |
Periodo y frecuencia
La principal
característica del movimiento circular uniforme es que en cada vuelta o giro completo
de 360°, equivalente a un ciclo, se puede establecer un punto fijo como inicio
y fin del ciclo.
En física, los ciclos
son también llamados revoluciones para un determinado tiempo.
El periodo (T) de un movimiento circular es el tiempo
que tarda una partícula o un cuerpo en realizar una vuelta completa, revolución
o ciclo completo.
“El periodo por ser tiempo se expresa en segundos
(s)”
Por ejemplo, el
periodo de rotación de la tierra es 24 horas. El periodo de rotación de la
aguja grande del reloj es de 1 hora. La unidad utilizada para el periodo es el
segundo o, para casos mayores, unidades mayores.
Conocida la
frecuencia (en ciclos o revoluciones por segundo) se puede calcular el periodo
(T) mediante la fórmula:
 |
Se denomina frecuencia (F) de un movimiento circular al número de
revoluciones, vueltas o ciclos completos durante la unidad de tiempo. La unidad
utilizada para cuantificar (medir) la frecuencia de un movimiento es el Hertz (Hz), que indica el número de revoluciones o ciclos por cada segundo.
Para su cálculo,
usamos la fórmula
(o Hertz)“La frecuencia F por ser la inversa del periodo T se
expresa en 1 sobre segundos (1/s)”
(En ocasiones se usa,
en vez de 1/s el Hertz (Hz), seg −1 o s −1).
Posición angular (θ)
Podemos imaginar,
como ejemplo, que se tiene una piedra amarrada a una cuerda y la movemos en
círculos de radio r. En un instante de tiempo t el móvil (en nuestro caso la piedra) se encuentra
en el punto P. Su posición angular (lo que la piedra ha recorrido en la
circunferencia) viene dada por el ángulo θ, formado por el punto P, el
centro de la circunferencia C y el origen O (desde donde empezó a girar la
piedra).
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Imaginemos el punto rojo (P) como una piedra que
gira amarrada al punto C. |
Una vez situado el
origen O describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes
angulares.
La velocidad angular (ω)
Cuando un objeto se
mueve en una circunferencia, llevará una velocidad, ya que recorre un espacio,
pero también recorre un ángulo.
Para tener una idea
de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento circular, se ha
definido la velocidad angular (ω) como el número de
vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo.
Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas
por segundo.
De manera sencilla:
en el movimiento circular la velocidad angular está dada por la cantidad de
vueltas que un cuerpo da por segundo.
Otra manera de decir
lo mismo sería: en el movimiento circular la velocidad angular está dada por el
ángulo recorrido (θ) dividido por unidad de tiempo. El resultado está en grados
por segundo o en rad por segundo.
ω = velocidad angular en rad/seg.
θ = desplazamiento angular en rad.
t = tiempo en segundos en que se efectuó el desplazamiento angular.
Ahora a modo de cálculo,
la velocidad angular también se
puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa o
periodo (T):
· Giro completo, el
ángulo recorrido son 360º, pero como estamos en movimiento circular usamos los
radianes, o sea 2π
· Y el tiempo empleado,
es el tiempo que tarda en dar una vuelta, que lo llamábamos periodo T
Reemplazando en la
fórmula de velocidad angular ω
 |
Como sabíamos que:
Entonces reemplazando en ω:
Aquí debemos apuntar
que una misma velocidad angular se puede expresar de varias maneras diferentes.
Por ejemplo, para las
lavadoras automáticas o para los motores de los autos se usan las
revoluciones por minuto (rpm). También a veces se usan las rps (revoluciones por segundo).
También se usan los grados por segundo y los radianes por segundo.
Es decir, hay muchas
unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan y hay que saber pasar
de una a otra, lo que se hace aplicando una regla de 3 simple.
Por ejemplo, pasar
una velocidad de 60 rpm (es lo mismo que decir 60 vueltas completas por minuto)
a varias unidades diferentes:
La más importante de todas las unidades de
velocidad angular es radianes por segundo. Esta unidad es la que se usa en los problemas.
Nota importante:
Según lo anterior es
correcto, entonces, decir que la velocidad angular es
Pero resulta que el
radián es sólo un número comparativo, por lo mismo que la palabra radián suele
no ponerse y en la práctica la verdadera unidad es
, que también puede ponerse como
, e
incluso como
.
En efecto, muchas veces la velocidad angular se expresa en segundos elevado a
menos uno (
) y
para quienes no lo saben resulta incomprensible.
Trasmisión de un movimiento circular.
Aparte de la velocidad angular, también es posible definir la velocidad lineal de un móvil que se desplaza en círculo.
Por ejemplo,
imaginemos un disco que gira. Sobre el borde del disco hay un punto que da
vueltas con movimiento circular uniforme.
Ese punto tiene siempre
una velocidad lineal que es tangente a la trayectoria. Esa velocidad se llama velocidad tangencial.
Para calcular la
velocidad tangencial hacemos: espacio recorrido sobre la circunferencia (o arco
recorrido) dividido por el tiempo empleado, que expresamos con la fórmula:
Entonces
 |
Que se lee velocidad tangencial es igual a
velocidad angular multiplicada por el radio.
Como la velocidad
angular (ω) también se puede calcular en función del periodo (T) con la fórmula
Y la velocidad
tangencial siempre está en función del radio, entonces la fórmula
Se convierte en
Que se lee: la velocidad tangencial es
igual a 2 pi multiplicado por el radio (r) y dividido por el periodo (T).
Además, como ω (velocidad angular) se expresa en
y el radio se expresa en metros, las unidades de la velocidad tangencial serán metros por segundo (m/seg).
La aceleración en los movimientos curvilíneos
En los movimientos
curvilíneos o circulares la dirección cambia a cada instante. Y debemos recordar
que la velocidad considerada como vector v podrá variar (acelerar o decelerar) cuando varíe sólo su dirección, sólo
su módulo o, en el caso más general, cuando varíen ambos.
La
aceleración asociada a los cambios en dirección
En razón de la
aseveración anterior, y desde un punto de vista sectorial (distancia), un movimiento circular uniforme es también un movimiento acelerado, aun cuando el móvil recorra la trayectoria a
ritmo constante.
La dirección del
vector velocidad, que es tangente a la trayectoria, va cambiando a lo largo del
movimiento, y esta variación de v que afecta sólo a su dirección da lugar a una aceleración, llamada aceleración centrípeta.
Aceleración centrípeta (ac)
Cuando se estudió la
aceleración en el movimiento rectilíneo, dijimos que ella no
era más que el cambio constante que experimentaba la velocidad por unidad de tiempo.
En este caso, la velocidad cambiaba únicamente
en valor numérico (su módulo o rapidez), no así en dirección.
Ahora bien, cuando el
móvil o la partícula realiza un movimiento circular uniforme, es lógico pensar
que en cada punto el valor numérico de la velocidad (su módulo) es el mismo, en
cambio es fácil darse cuenta de que la dirección del vector velocidad va
cambiando a cada instante.
La variación de
dirección del vector lineal origina una aceleración que llamaremos aceleración centrípeta. Esta aceleración
tiene la dirección del radio y apunta siempre hacia el centro de la
circunferencia.
Como deberíamos
saber, cuando hay un cambio en alguno de los componentes del vector velocidad
tiene que haber una aceleración. En el caso del movimiento circular esa
aceleración se llama centrípeta, y lo que la provoca
es el cambio de dirección del vector velocidad angular.
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Aceleración
centrípeta. |
Veamos el dibujo de
la derecha:
El vector velocidad
tangencial cambia de dirección y eso provoca la aparición de una aceleración
que se llama aceleración centrípeta, que apunta siempre hacia el centro.
La aceleración centrípeta se calcula por
cualquiera de las siguientes dos maneras:
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PROBLEMAS
5- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820° ¿Cuántos radianes son?
6- Si un cuerpo gira con una velocidad
angular de W = 15 [1/s] en un círculo de 1,5 m de radio
Averigua:
a) Período.
b) Frecuencia del movimiento.
c) Velocidad Tangencial.
d) Aceleración centrípeta
a) (T) Periodo: Es el tiempo que tarda en realizar
una vuelta completa
W = 2 pi/T despejo T
T. W = 2 pi
T = 2
pi/W = 2 x 3,141516 /15 = 0,4188 seg
T=
0,4188 seg
b)
Frecuencia
F = 1/T = 1/0,4188 = 2,388 [1/seg]
c)
Velocidad Tangencial:
Vt=W.R = 15 . 1,5 = 22,5 m/s
d)
aceleración centrípeta
Ac=W2.R=15 . 15 . 1,5 = 337.5 m/s2
7-Uno de los caballos de un tiovivo, situado a 2 m del centro del mismo,
gira a razón de tres vueltas por
minuto. Calcula:
a) Periodo y frecuencia. b)
Velocidad angular.
c)
Velocidad lineal o tangencial del caballo. d) Aceleración normal o centrípeta de dicho
caballo.
(Ojo con las unidades de tiempo)
a)
Periodo: (T) Tiempo que tarda en dar
una vuelta completa
Como dice que en 1 min da tres vueltas (v)
1 v ---------------------x
3 v ------------------- 1 min = 60 s
1/3 = x/60 s
60 s/3
= x
x= 20 s es decir ese es T
Frecuencia es su inversa: F = 1/T = 1/20 s = 0,05 1/s
b) Velocidad angular (W)
W=2 pi/T o 2 pi F
W= 2 pi /20 s= 0,31415 1/s
c) Velocidad Tangencial Vt
Vt= W . r = 0,31415 . 2 = 0,6283 m/s
e)
Aceleración centrípeta (Ac)
Ac = W2 r = 0,19738 m/s2
9.- La velocidad angular de un tocadiscos de
1970 es de 45 r.p.m.
Calcula:
a) Velocidad angular
b) Número de vueltas que dará en
5 minutos.
c) Velocidad tangencial de una mosca situada sobre el disco a 10 cm del
centro.
d) Aceleración de la mosca.
(Nota: rpm
son revoluciones por minuto o vueltas por minuto)
Es decir que 45
r.p.m. = 45 vueltas por minuto = 45 vueltas / 60 seg = 0,75 1/s
a) Velocidad angular (W)
W = 2 pi / T = 0,75 1/s
b) Numero de vueltas que dará en 5 minutos
45 r.p.m. es 45 vueltas por minuto
Si ese valor lo multiplico por 5 me da las
vueltas en 5 minutos
45 x 5 = 225 vueltas en 5 minutos
c) Velocidad tangencial de una mosca
situada sobre el disco a 10 cm del centro
Vt = W.r
W= 0,75 1/s
r = 10 cm = 0,1 m
Reemplazo
Vt = 0,75. 0,1 = 0.075 m/s
d)
Aceleración de la mosca
Ac = W2. r = 0,752. 0,1 = 0,05625 m/s2
10) Calcula la aceleración centrípeta de un objeto
que gira a razón de 4 vueltas en 10 seg. si el diámetro de giro es de 3 metros.
4 vueltas en 10 s es lo mismo 0,4 en 1 s que es la Velocidad Angular (W)
W = 4 v/ 10 s = 0,4 / 1 s
r = d/2 = 3 / 2 = 1,5 m
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